Alevel数学：考上剑桥的同学都使用的积分技巧

 

关于分部积分法的技巧或者说学生经常疑惑的地方就是两个：

2 学生已经判断出U和V了，但是接下来的积分过程比较慢，想要个快速展开分部积分表达式的方法。

首先我们要想清楚的是：分部积分应用在哪些场景呢？ 换句话说，在什么情况下，我们会考虑到使用分部积分？

主要有两个原因：

1被积函数表达式出现了不同类型函数的乘积；

2 在1的基础上，求udv的积分困难，但是求vdu的积分好求时。

基于以上两点，我们的数学系前辈们发明了分部积分。

我们先弄明白了分部积分的诞生来源，接下来需要考虑的是，考试真题或者说平时做题过程中，都会遇到哪些类型的函数进行相乘呢？ 

A.    如何快速判断出U和V？

这个U和V就好像是两个人一起干活，一个干求导，一个干积分，现在的目标是积分求出他们两乘积的原函数，你是主人，要协调好这两个人，选出那个易于求导的U和还易于积分的V，让他们干自己容易干的活。诺，你看，现在的情况是出现了dv（对v求导）困难了，而对U求导比较简单（du），因此才出现了分部积分公式。

就拿上面的那3个类型进行说明吧，比如对于第一种类型，多项式和其他类型相乘时，我们选谁当做U呢？当然是选择求导简单的当做U了，而多项式和三角函数、指数函数相乘时，很明显对于多项式更容易求导，因此我们选择多项式做为U。

对于第二种类型，指数函数和三角函数相乘，这两个求导和积分都差不多，选这个当做U或者当做V，都不是什么困难的事，这就是口诀为什么有 “反对幂三指”和“反对幂指三” 两个版本的原因。

对于第三种类型，多项式和对数或者反三角在一块，你这时候就要留意了，因为对于多项式来讲，对它求导或者积分都不是什么困难的事，但是对于反三角函数来说，对它求积分好像确实是有点困难，反倒是对反三角求导比较简单一些。因此，在类型3中，我们往往将对数和反三角函数作为U。

总结一下：当我们碰到一个被积函数为两个不同类型的相乘时，下意识要使用分部积分了，此时你可以不用背口诀，你就简单的想，我让谁去求导且剩下的那个人干积分还不是很困难，那我就选谁当做U。

B.如何快速展开分部积分表达式？

 

可以看出，这个表格的第一行是写容易求导的人，对U不断地求导，第二行是写容易积分的人，对V不断地做积分，那么，根据表如何写出下来的表达式呢？ 

口诀就是：“以U为起点，左上右下，错位相乘，正负相间，最后一项写积分”。

有同学会问：我求导到啥时候？正负号如何规定的？用这个表怎么写展开式呢？

对于本题来讲，第一行要对多项式求导至0,。正负号是这样规定的，规定第一项为正，接下来是负号，就这样按顺序写就行。表格的最后一项是积分，被积函数是U的最后一项和V的最后一项的乘积。按顺序写完后，依次写下去整理即可。

再看第二个例子：

由于三角函数在求两次导后，会出现原型，因此，这类一般第一行“求导至循环”。

最后，再来第三个例子：

对于反三角函数或者对数函数做U求导，一般只求一次导，即求导至反三角符号和对数符号消失为止。

通过以上3个例子的介绍，相信大家对这个分部积分的推广公式如何使用应该有了一定的印象

总结一下：对于两个不同的函数乘在一起做积分，我们就要权衡好谁来求导简单一些，谁做积分更容易一些，然后用分部积分的推广公式来展开。

大家可以不用死记硬背分部积分那么长的推广公式，你就记住一点：我对第一行求导，对第二行做相应的积分，求导到什么程度呢？多项式一般是求导到0，三角函数一般是求导至循环，反三角和对数是求导至符号消失，最后利用口诀：“以U为起点，左上右下，错位相乘，正负相间，最后一项写积分”的原则，就可以快速、正确的写出分部积分的表达式！

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