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奇妙的A-Level数列,你了解透彻了吗?

本文出处:a-level课程 发布时间:2018-12-26 09:16:10 字体大小: A+ A-

一提起Sequence(数列),大家就马上想起那个被举了无数次,甚至被举烂了的例子,那就是1,2,3,4.

 

A-Levels纯数学的知识结构中数列(sequence and series)似乎只是一个跑龙套的角色,没什么难度,与核心知识也没什么关联。但我敢保证,它与核心知识(函数和微积分)的关联绝对比你想象的要丰富得多。


让我们来回忆一下数列的基础知识

数列(sequence/progression)是由若干个数(可能是有限个,也可能有无穷多个)线性排列而成的集合。比如1,3,5,7,9…



其中每个数称为数列的项(term),每一项都有它的位置(position)和值(value)。比如,上述数列的第1项(位置)是1(值),第2项是3,第3项是5,……。通常我们un表示第n项的值。因此,对于上述数列,我们可以说u1=1,u2=3,u3=5,……。

定义或者表示一个数列通常有三种方式。

直接列举

例1:1,3,5,7,9;

 

例2:u1=1,u2=3,u3=5,u4=7,u5=9。

 

例3:



n      (position)

1

2

3

4

5

un    (value)

1

3

5

7

9


通项公式general formula

如果un可以用n的表达式写出,则这个表达式称为数列的通项公式。利用通项公式,我们就可以根据项的位置,求出项的值。

 

例4: 1.jpg


递推公式recursive formula/recurrence relation


如果数列的相邻项(un和un+1)之间有某种有规律的联系,可以用递推式来定义数列。


例5:一个数列用以下两个式子定义,alevel数列-2.jpg


不难看出,上述例4-5定义的数列是等价的,并且它们的前5项和例1-3是相同的。


数列的前n项和(the sum of the first n terms)


很多时候,我们不仅关心数列的第n项(the nth term, un)是什么,还关心数列的前n项和(the sum of the first n terms)。


前n项和,通常记为Sn,定义为alevel数列-3.jpg


最常见的两种数列


等差数列(arithmetic sequence)


等差数列理解起来很简单,数列中后一项减去前一项的差值是相等的,这样的一列数就是等差数列。相邻两项的差为常数的数列称为等差数列,这个常数称为公差(common difference)。比如1,3,5,7,9就是个等差数列,它的公差为2。


这里还解释了一下算数平均值,arithmetic mean的实际意义。落在两个数中间的那个数,就是算数平均值,实际上,等差数列中连续的三个项,中间的项都是另外的两个项的平均值。


我们用a表示等差数列的首项,d表示公差,则有


alevel数列-4.jpg


等比数列(geometric sequence)


等比数列的定义也是很简单,后一项比上前一项的值是相等的,这个比值叫做公比。相邻两项的比为常数(不能为0)的数列称为等比数列,这个常数称为公比(common ratio)。比如,1,2,4,8,16就是个等比数列,它的公比为2.


同样此处也可以介绍几何平均值,geometric mean,理解起来了很简单,就是连续的三个等比(几何)数列中的项,中间的项就是两边的项的几何平均值,中间项的平方等于两边项的乘积。这个知识点一般不会考到,大家知道就行了。


我们用a表示等差数列的首项,r表示公差,则有


alevel数列-5.jpg


有的同学会问了,你说的这些东西我也知道,可它与函数和微积分能扯上什么关系?关系可大了。我们先关注最明显的关联,只看通项公式。



我们直接给出结论


数列是从自然数集(set of natural number)到任意数集的映射(函数),也就是说,它的实质就是定义域(domain)为自然数的函数。


等差数列对应于一次函数(linear function)


等比数列对应于指数函数(exponentials)


如果你觉得不明显的话,提示一下——我们只需把un写成u(n),就明白了。如果还不清楚,请把n替换为x,把u替换为f

alevel数列-6.jpg

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