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趣味数学:什么是自然常数e?

本文出处:gcse辅导 发布时间:2018-09-30 18:19:29 字体大小: A+ A-

我们知道,自然界有一些十分重要的常数,如0,1,i,π,e等,它们的存在很大程度上影响了我们的学习与生活。


今天我们就来深度挖掘一下,自然常数e为什么这么重要?

 

在回答自然常数e为什么这么重要之前,我们首先要问,自然常数e是什么?简单搜索一下可以发现,百度百科里面是这么解释的:


自然常数,是数学科的一种法则, 约为2.71828,就是公为 lim(1+1/x)x,x→∞或lim(1+z)1/z,z→0,是一个无限不循环小数,即超越数。

 

这个解释给人的感觉就是很高(zhuang)端(bi),对于数学不好的人而言只能用以下反应来形容:


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这里我们以一个银行存款的例子简单描述一下:


我们在银行存款是有利息的,而存款赚到的利息又可以继续和本金一起,赚取更多的利息。当然,银行不是慈善家,它们结算利息的频率很低,要每一年甚至三年才结算一次,也就是说,在这一年或者三年的时间里,已经获得的利息并不能帮我们赚取更多利息。

 

下面考虑一种理想状况,也就是假定有这样一家银行,它一年的存款利率是100% (简记为1),并允许我们自由选择结算利息的次数。如果我们存入银行1块钱,那么我们一年最多能够赚多少钱呢?


1、如果只在年底结算一次利息,由于一年的利率是1,那么一年后我们可以连本带利得到2块钱。


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2、如果我们要求每半年就结算一次利息,由于半年的利率是1/2,那么一年后我们可以连本带利得到2.25块钱。


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3、如果我们要求每一个月就结算一次利息,由于一个月的利率是1/12,那么一年后我们可以连本带利得到2.61块钱。


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4、可以看到,利息结算次数越多,年底获得的收入也就越多。如果我们脑洞大开,要求银行时时刻刻为我们结算利息,也就是说结算利息的次数为无数次,那么我们能否得到无穷无尽的收入,实现数钱数到手抽筋的梦想呢?


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很遗憾,这个是不可能的!因为我们最终获得的收入其实就是下面这个式子,


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而数学家的计算已经表明,这个式子的值其实是有限的,其大小为2.718281828…,是一个无限不循环小数,为了使用方便,我们就用e来代表它。所以,e就是复利的极限,或者更广义地说,应该是增长的极限。

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