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神奇的alevel统计学:泊松分布与指数分布

本文出处:Alevel课程 发布时间:2018-09-30 17:53:02 字体大小: A+ A-

  统计学是ALevel数学中的一个重要内容,这一学科之所以如此重要,因为统计学涉及到了对数据的处理,几乎绝大部分的前沿科技都会应用到统计学,包括目前在科技领域最热门的人工智能、数据挖掘、机器学习等等。2011年度的诺贝尔经济学奖获得者Thomas J. Sargent近日甚至在世界科技创新论坛上表示,人工智能其实就是统计学,只不过用了一个很华丽的辞藻,其实就是统计学,所有的人工智能利用的都是统计学来解决问题。


神奇的alevel统计学:泊松分布与指数分布


  今天A+国际的欧老师将为大家介绍统计学中的两个重要的概率分布:泊松分布和指数分布。



泊松分布(Poisson Distribution)


日常生活中,大量事件是有固定频率的。    


   

某医院平均每小时出生3个婴儿    

某公司平均每10分钟接到1个电话    

某超市平均每天销售4xx牌奶粉    

某网站平均每分钟有2次访问、前端    


它们的特点就是,我们可以预估这些事件的总数,但是没法知道具体的发生时间。已知平均每小时出生3个婴儿,请问下一个小时,会出生几个?


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有可能一下子出生6个,也有可能一个都不出生。这是我们没法知道的。

泊松分布就是描述某段时间内,事件具体的发生概率。

 

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上面就是泊松分布的公式。等号的左边,P 表示概率,N表示某种函数关系,表示时间,表示数量,1小时内出生3个婴儿的概率,就表示为 P(N(1) = 3) 。等号的右边,λ 表示事件的频率。


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接下来两个小时,一个婴儿都不出生的概率是0.25%,基本不可能发生。


接下来一个小时,至少出生两个婴儿的概率是80%。


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泊松分布的图形大概是下面的样子。


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可以看到,在频率附近,事件的发生概率最高,然后向两边对称下降,即变得越大和越小都不太可能。每小时出生3个婴儿,这是最可能的结果,出生得越多或越少,就越不可能。

 

 

指数分布(Exponential Distribution)



       


指数分布是事件的时间间隔的概率。下面这些都属于指数分布。    


   

婴儿出生的时间间隔    

来电的时间间隔    

奶粉销售的时间间隔    

网站访问的时间间隔    


指数分布的公式可以从泊松分布推断出来。如果下一个婴儿要间隔时间 t ,就等同于 之内没有任何婴儿出生。


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反过来,事件在时间 t 之内发生的概率,就是1减去上面的值。


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接下来15分钟,会有婴儿出生的概率是52.76%


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接下来的15分钟到30分钟,会有婴儿出生的概率是24.92%


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指数分布的图形大概是下面的样子。


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可以看到,随着间隔时间变长,事件的发生概率急剧下降,呈指数式衰减。想一想,如果每小时平均出生3个婴儿,上面已经算过了,下一个婴儿间隔2小时才出生的概率是0.25%,那么间隔3小时、间隔4小时的概率,是不是更接近于0

 


总结

 

一句话总结:泊松分布是单位时间内独立事件发生次数的概率分布,指数分布是独立事件的时间间隔的概率分布。


请注意是"独立事件",泊松分布和指数分布的前提是,事件之间不能有关联,否则就不能运用上面的公式。



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