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一份精心梳理的AP微积分知识点总结

本文出处:AP课程辅导 发布时间:2019-08-08 16:50:34 字体大小: A+ A-

  AP微积分包括微积分AB和BC两门,是中国申请美本的学生选考最多的科目,但是要拿5分,可不是一件容易的事!A+国际教育老师为各位准备了一份精心梳理的AP微积分知识点总结,教你全面“解剖”AP微积分,拉开分数差距的问答题解析;每种题型知识点,备考技巧以及破题思路。

  选择AB还是BC?

  很多同学都会有这个疑问,考哪一个更有优势呢?建议数学基础较好,或者大学会选择理工科方向的学生,可以选择BC。每年选择报考BC的学生也会比AB多许多。

  AP微积分BC比AB要更难一些,其中 BC 包含了所有 AB 的考点,另外BC 包含的知识点会比 AB 多,如参数方程、极坐标、数列和级数,申请时需要向招生委员会展现自己具有较强的数学水准与学习潜力,那么微积分BC成绩可以作为最好的证明,BC为满分5分的情况下,AB的成绩也为5分。

  AP微积分试卷结构、评分标准分析

  AP 微积分 AB 和 BC 的试卷结构都是一样的,如下图所示。分为 Multiple choice 选择题和Free response 问答题两部分。分数比例也都一样。选择题中的 part B 和问答题中的 part A 可以使用计算器。

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  考试内容

  下列考试内容,需要学生在平时学习时注意积累和运用,不断加深对知识点的理解,及时查漏补缺。其中 BC 中的级数较难,需要记忆的内容比较多,公式也比较长,建议学生了解每种判别方法的特点,多加练习。

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  公式

  AP 微积分考试不提供公式表,建议在考前自己归纳各类函数的微分和积分公式,三角函数特殊角的值,级数展开式等,通过做题目来记忆,提高熟练度和公式的运用。

  计算器

  AP微积分考试中,图形计算器可以用来画函数图像,求方程的根、定积分、求导。选择的图形计算器一定要能画函数图像,常用的计算器型号,如TI84, TI nspire cas, TI nspire cx cas等,考前一定要熟练运用计算器。

  备考资料

  1. 参考书:

  巴朗 AP 微积分第 14 版:难度适中,习题较多,可以有选择性做,很适合作为自学教材。

  微积分英文教材:如 Calculus by Ron Larson(10th edition) , 这是一本大学微积分教材, 会比专门针对 AP 考试的书籍,将知识点讲解更加详细,可以作为参考。

  2. 历年真题: College Board 的历年 Free response 题目和答案,考试前认真做,按照标准答题进行批改。 Multiple choice 官方不提供题目,可以根据网上能够找到的题目和参考 AP 微积分参考书。 留出一至两个月时间复习知识点和刷题。

  评分标准

  AP 微积分 BC 考试总分为 108 分,70 分左右就可以得到满分 5 分,60 分左右可以得到 4 分。

  选择题和问答题各占了 50%,也就是 54 分。

  1.选择题:共45题,每题1.2分,要得5分要控制错误的题目在 10 道以内。

  2.问答题:共6题,每题9分。历年来每道题的平均得分在5分左右,难的题可能只有3分左右。2017、2018年的问答题平均得分如下:

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  考点解析

  每年 6 道问答题类型都差不多,前两道主要考察计算器的运用;后四道主要考察基础概念的理解。导数和积分应用结合在一起考察,共 4 题,微分方程 1 题,级数 1 题。

  级数

  这是每年的压轴题,对大部分学生来说比较难,也是只有BC考试中考察的一个知识点。这部分需要记忆和理解的内容量很大。 包括幂级数求收敛半径、收敛区间,函数的泰勒展开,泰勒估值及拉格朗日余项、误差。收敛与发散,主要考Geometric Series、p-Series、Alternating Series、n-th term Test、Comparison Test、Ratio test、integral test,要记住每种级数的特点及判别方法。Taylor 和 Maclaurin展开的相关公式要熟记。

  如2018年第6题,题目给出了In(1+x)的Maclaurin级数,要判断收敛区间并利用收敛交替级数的性质,求前四项的误差边际。

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  微分或积分的应用

  这也是每年都会考的题目,定积分求面积、体积、弧长等,有时也会与运动结合在一起进行

  考察。其中涉及到极坐标的,是比较难的。

  如 2018 第 5 题:这道题比较难。极坐标下求解两个函数图像所围的面积,之后考察了极坐标求切线斜率的方法,根据质点距极点的速度,求质点与极轴夹角的变化率。

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  微分方程

  微分方程包括斜率场、欧拉法则、分离变量法等。只有分离变量法能算出精确方程,其它都是近似估计。常出现的错误有求解微分方程结果时少了积分常数;分离变量求积分时忘记变量分离。

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  导数图像推导出原函数的相关性质

  这部分考点包括极值、大小值,函数的增减性和凹凸性。

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  基础的导数、积分

  主要考中值定理、连续性、黎曼和等。黎曼和有 4 种表达形式:Left-hand , Right-hand , Mid-point and Trapezoid,每年都至少考一种,不需要特别记忆公式,在考试中只要画图像就可以做出来。

  如 2018 第 4 题:根据树的时间(年)和高度(米)的表格,估算瞬时变化率,考察了中值定理,要用梯形法则估算;根据树根直径和时间的变化率,考察了相关变化率。

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  以上就是A+国际老师精心梳理的AP微积分知识点总结,注意无论你学AP微积分的目的是换学分还是预习课程,早下决定,早做计划都是很有必要的。

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